my logica proposicional

martes, 21 de octubre de 2014

MATEMÁTICAS DISCRETAS.

-lógica proposicional: La lógica proposicional SE OCUPA de Proposiciones . Con « proposición » entendemos Una Frase Sobre la Cual es sensato Preguntar si es Verdadera o falsa. Ordinariamente las Proposiciones estan expresadas en modo indicativo. Las frases interrogativas, dubitativas, imperativas o exclamativas no son concideradas proposiciones. La Relación Que Hay Entre frases y Proposiciones es tal Que Entre los muchas frases Solo Un Grupo Determinado Vale Como un Conjunto de Proposiciones, es Decir , Que Comprende Aquel Frases Que Describiendo afirman Algo. Casi es Más Fácil enumerar Cuales frases no son Proposiciones:

1.frases interrogativas , dubitativas , imperativas

2. frases modales : frases Con Los de Términos « Posible » , « necessary » ,« Incondicionado » , etc

3. frases no busque formuladas : « ENTONCES Y ASI Hizo

4. Frases SENTIDO pecado : « Los Libros lloran rocas emplumadas »

5. Formas proposicionales : « la Empresa de la limpieza de sangre utiliza x producto para limpiar el los baños » .

A continuacion Veremos UNOS breves ejemplos de Proposiciones y de no Proposiciones :

1. La leche es ácida . ✔

2. ¿ Tienes Cinco Minutos párr Mí ? ✘

3. El Sábado Juan Ocupado Siempre ESTA. ✔

4. 2 + 2 = 7 ✔

5. ¡ comprate ONU Volvo ! ✘

6. La ciudad x es Famosa Por El Coliseo . ✔

7. Habla contínuamente Sobre la crisis del dolar. ✘

8. 42. ✘

9. David VENCIÓ un Goliat estafa Una honda . ✔

10 Probablemente el barco es un vapor . ✘

11. ¡ Menos mal Que ha Dejado de llover ! ✘

12 Hasta El Siglo XVII en sí creyo En Una Relación Entre Las Fases

lunares y Las diseases . ✔

13 El inicio de la Escuela es un Mitad de septiembre . ✔

Imprecisa 14. La Balanza es . ✔

15 ¿ Un hombre Trabaja CUANDO Piensa ? ✘

Variables Proposicionales

una variable proposicional representa una proposición; variables proposicionales son:

Vp: {p,q,r,s }

Variable P: proposición

p: 2+3=5

q: 2+2=4

s: El tablero es blanco

r: g=9,8 m/s^2

r1: E=mc^2

Una proposición puede ser tan larga como se quiera:

p1: si g=9,8 m/s^2, entonces E= mc^2 y dado que el tablero es blanco y 2+3=5

p2: si se come la sopa entonces sale a jugar

p: El niño se come la sopa

Ejemplos de proposiciones bien formadas

todos los dias llueve en cucuta, si y solo si amanece el dia frio

P: llueve en cucuta
Q: el dia amanece frio

(P --> Q)

no llueve en cucuta si y solo si el dia no amanece frio

¬P: no llueve en cucuta
¬Q: no amanece el dia frio
(¬P --> ¬Q)

otros ejemplos de proposiciones con su respectiva tabla de verdad

$p \,$
$\neg \neg \neg q \,$
$(p \and q)$
$\neg (p \and q)$
$(p \leftrightarrow \neg p)$
$((p \to q) \and p)$
$(\neg (p \and (q \or r)) \or s)$

Y los siguientes son ejempos de fórmulas mal formadas

Fórmula Error Corrección

$(p) \,$ Sobran paréntesis $p \,$

$\neg (p) \,$ Sobran paréntesis $\neg p \,$

$(\neg p) \,$ Sobran paréntesis $\neg p \,$

$p \to q \,$ Faltan paréntesis $(p \to q) \,$

$(p \and q \to r)$ Faltan paréntesis $((p \and q) \to r) \,$

CONECTORES LOGICOS

Conectiva Expresión en el
lenguaje natural Ejemplo Símbolo en
este artículo Símbolos
alternativos

Negación no No está lloviendo. $\neg \,$ $\sim \,$

Conjunción y Está lloviendo y está nublado. $\and$ $\And \,$ $.$

Disyunción o Está lloviendo o está soleado. $\or$

Condicional material si... entonces Si está soleado, entonces es de día. $\to \,$ $\supset$

Bicondicional si y sólo si Está nublado si y sólo si hay nubes visibles. $\leftrightarrow$ $\equiv \,$

Negación conjunta ni... ni Ni está soleado ni está nublado. $\downarrow \,$

Disyunción excluyente o bien... o bien O bien está soleado

El significado de las conectivas lógicas no es nada más que su comportamiento como funciones de verdad. Cada conectiva lógica se distingue de las otras por los valores de verdad que devuelve frente a las distintas combinaciones de valores de verdad que puede recibir. Esto quiere decir que el significado de cada conectiva lógica puede ilustrarse mediante una tabla que despliegue los valores de verdad que la función devuelve frente a todas las combinaciones posibles de valores de verdad que puede recibir.

Negación Conjunción Disyunción Condicional Bicondicional

$\begin{array}{c||c} \phi & \neg \phi \\ \hline V & F \\ F & V \\ \end{array}$

$\begin{array}{c|c||c} \phi & \psi & \phi \and \psi \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & F \\ \end{array}$

$\begin{array}{c|c||c} \phi & \psi & \phi \or \psi \\ \hline V & V & V \\ V & F & V \\ F & V & V \\ F & F & F \\ \end{array}$

$\begin{array}{c|c||c} \phi & \psi & \phi \to \psi \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & V \\ F & F & V \\ \end{array}$

$\begin{array}{c|c||c} \phi & \psi & \phi \leftrightarrow \psi \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & V \\ \end{array}$

TABLAS DE VERDAD

La tabla de verdad de una fórmula es una tabla en la que se presentan todas las posibles interpretaciones de las variables proposicionales que constituye la fórmula y el valor de verdad de la fórmula completa para cada interpretación. Por ejemplo, la tabla de verdad para la fórmula $\neg (p \or q) \to (p \to r)$ sería:

$\begin{array}{c|c|c||c|c|c|c} p & q & r & (p \or q) & \neg (p \or q) & (p \to r) & \neg (p \or q) \to (p \to r) \\ \hline V & V & V & V & F & V & V \\ V & V & F & V & F & F & V \\ V & F & V & V & F & V & V \\ V & F & F & V & F & F & V \\ F & V & V & V & F & V & V \\ F & V & F & V & F & V & V \\ F & F & V & F & V & V & V \\ F & F & F & F & V & V & V \\ \end{array}$

Como se ve, esta fórmula tiene 2ⁿ interpretaciones posibles —una por cada línea de la tabla—, donde n es el número de variables proposicionales (en este caso 3, es decir p, q, r) , y resulta ser una tautología, es decir que bajo todas las interpretaciones posibles de las variables proposicionales, el valor de verdad de la fórmula completa termina siendo V.

circuito logico

Introducción: Un circuito lógico es un dispositivo que tienen una o más entradas y exactamente una

salida. En cada instante cada entrada tiene un valor, 0 o 1; estos datos son procesados por

el circuito para dar un valor en su salida, 0 o 1.

Los valores 0 y 1 pueden representar ciertas situaciones físicas como, por ejemplo, un voltaje nulo y no nulo en un conductor.

Los circuitos lógicos se construyen a partir de ciertos circuitos elementales

denominados compuertas lógicas, entre las cuales diferenciaremos:

• Compuertas lógicas básicas: OR, AND, NOT.

• Compuertas lógicas derivadas: NOR, NAND.

Compuerta OR

En una compuerta OR con entradas A y B, la salida Y resulta:

Y= A+B

donde la suma se define por la siguiente tabla:

A B Y=A+B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

La compuerta OR se representa del siguiente modo:

Compuerta AND

En una compuerta AND con entradas A y B, la salida Y resulta:

Y = AB

A B AB

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Compuerta NOT

La compuerta NOT se representa del siguiente modo:

En una compuerta NOT con entrada A, la salida Y resulta:

Y = ¬A

donde el complemento se define por la siguiente tabla:

A Y

1 0

0 1

CIRCUITO LOGICO:

Los circuitos lógicos se forman combinando compuertas lógicas. La salida de un

circuito lógico se obtiene combinando las tablas correspondientes a sus compuertas

componentes.

Por ejemplo: y=(¬A+B)+¬C

OTRO EJEMPLO:

Y= (¬(A+B+C)+DE)DE¬E

La salida de este circuito, expresada en el lenguaje de la lógica de enunciados, resulta:

Y= (¬(A+B+C)+DE)DE¬E ¬((¬(p ∨ q ∨ r) ∨ (s ∧ t)) ∧ s ∧ t ∧ ¬t)

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